lørdag 29. oktober 2011

3x minus 3 er ikke x. Men hvorfor ikke?

Når elevene forsøker å isolere x ved å trekke koeffisienten fra 5x, og når de legger sammen x2 og x2 med x4 som svar, da er algebraflisene gull verd.

Og hvem gjør ikke disse feilene når de nettopp har begynt å lære algebra?

Algebrafliser synes å være ukjente størrelser her til lands, og alle presentasjoner jeg har funnet på nettet har vært på engelsk. Legger derfor ut en presentasjon på norsk (satt sammen av presentasjoner over flere dager med elevene), sammen med maler til algebrafliser, både som word-filer og i pdf. Presentasjonen inneholder en del animasjoner som bare synes i fremvisningsmodus. I denne mappa ligger det også et oppgaveark.1


Til slutt: det er noen interessante innspill om bruk av algebrafliser i kommentarfeltet til dette innlegget som jeg skrev for noen år siden, med lenker til nettbaserte algebrakonkreter.

1 Det er to versjoner av oppgavearket. Oppgavene er ulike, men svarene på de to arkene er like. To elever kan dermed gjøre hver sine oppgaver men sjekke at de har gjort dem riktig ved å undersøke om sidemannen har fått samme svar. Jeg pleier kopiere slike oppgavesett på to farger papir for å holde styr på hvilke som hører sammen.

Puslespill: vi lærer å snakke algebraisk

Det å oversette mellom naturlig språk og algebra er vanskelig for mange elever. Jeg forsøkte først å få elevene til selv å konstruere oversettelsen fra tekst til algebra og omvendt, men dette ble for vanskelig:


I stedet prøvde jeg da samme type øvelse, men med svarmulighetene gitt på forhånd i form av et sett med kort, der halvparten hadde en påskrift på naturlig språk, og den andre halvparten en påskrift med matematiske symboler. Elevene jobbet parvis med å finne ut hvilke kort som passet sammen. Dette gikk fint, og skapte godt engasjement. Det at svaralternativene var gitt på forhånd fungerte bra som støttehjul. En del elever ble raskt ferdig, og da var det greit å ha konvolutter med flere slike puslespill i bakhånd. Malene ligger her.

En gjengangerfeil var forveksling av a - b og a > b, men dette var også den eneste vanlige feilkoplingen. Jeg konsentrerte meg da om denne feilmuligheten da jeg gikk rundt og sjekket hvordan det gikk. Med svaralternativene på oppklippede papirbiter forsvant også en vanlig avsporing fra arbeidet med den opprinnelige tabellen: mange elever hadde da forsøkt å finne ut hvilken verdi de forskjellige variablene måtte ha for at alle setningene skulle stemme, i stedet for bare å oversette mellom tekst og algebra, slik intensjonen min hadde vært.

Foruten øvelsen i å tolke algebrasymboler brukte vi denne øvelsen som utgangspunkt for en samtale om forskjellen mellom matematiske påstander (likninger, ulikheter) og matematiske uttrykk (som kan ha forskjellige verdier avhengig av verdien til variabelen, men som ikke er sanne eller usanne). Siden elever nesten alltid på et eller annet tidspunkt prøver seg på å bruke reglene for likningeløsning på algebrauttrykk, er det greit å bruke alle anledninger til å understreke forskjellen mellom likninger og uttrykk, tenker jeg.

søndag 23. oktober 2011

Måltall og enheter

“Matte kan være vanskelig,” bemerker Torgeir Ødegården på Rommen skole i et fornøyelig innlegg om måling og enheter i samfunn og skole, og utdyper:
Når jeg senere spør matteklassen min om hva som er riktig enhet bak diverse måltall, så svarer de fleste meter, uavhengig av om vi snakker om lengde, fart, tid eller antall kameler som svelges i sekundet.

De fleste mattelærere vil sikkert humre gjenkjennende. Målet er at elevene skal le med, og i fjor fikk åttendeklassingene mine servert en historie av følgende type som gjøre-nå-oppgave, med instruks om å sette strek under alle feilene og rette dem:
Daniel bor 500 dL unna skolen. Hver dag bruker han 4 m3 på å rusle til skolen. I sekken har han en matpakke med 100 km brød pakket inn i 4 cL matpapir, og ei flaske med 5 timer vann. Han går langs 3 cm2 høye busker og plystrer mens han går. På veien treffer han en venn som løper med en fart på 8 kroner, og da blir Daniel redd for at han skal komme noen kg for seint, så han sprinter de siste 20 g.
Det tok noen sekunder, og så begynte noen elever å smile. Vi diskuterte hvilken måleenhet vi skulle skrive i stedet i hvert tilfelle slik at måltallet skulle gi mening, og i tilfellene hvor det er flere muligheter (en kan løpe 20 meter eller løpe i 20 sekunder, for eksempel) ble det en nyttig diskusjon om forskjellene mellom dem.


En helt annen sak er omgjøring mellom enheter, noe en i begynnelsen kan tenke seg er så lett som å fortelle barna hvilken tierpotens de skal multiplisere eller dividere med for å få ønsket enhet. I virkeligheten er det svært mange elever som ikke er tilstrekkelig fortrolige med titallssystemet til at de kan multiplisere med 100 uten å stille opp regnestykket, og så gå gjennom hele prosedyren for flersifra multiplikasjon. Uten omstendelig arbeid med posisjonssystemet på forhånd blir arbeidet med måltall og måleenheter veldig vanskelig.

torsdag 6. oktober 2011

Regning med tall med fortegn

Fiona på Mattebloggen tar opp det å konkretisere multiplikasjon med negative tall. Jason Dyer har tidligere samlet innlegg om dette her, selv om noen av forslagene der er i overkant vanskelige for ungdomsskoleelever å forstå.

Jeg liker å bruke bildet av en trollmann som styrer været i Langtvekkistan med en stor, svart gryte full av varme og kalde terninger. Trollmannen kan øke temperaturen ved å LEGGE TIL varme terninger eller TA UT kalde terninger (addere positive tall eller subtrahere negative tall), og han kan senke temperaturen ved å TA UT varme terninger eller LEGGE TIL kalde terninger (subtrahere positive tall eller addere negative tall). Vi øver oss på å forestille oss hva som vil skje om trollmannen legger til fem varme og syv kalde terninger, for eksempel, eller tar ut tre kalde og samtidig legger til åtte varme. Det trenges naturligvis flere eksponeringer for denne ideen før flertallet av elevene bruker modellen med letthet, men det pleier å funke etter noen forsøk fordelt over noen dager.


søndag 25. september 2011

Poteter

Vi hadde en liten haug poteter igjen etter et massetetthetsforsøk 1 og de ble liggende på en benk på arbeidsrommet inntil en utålmodig kollega flyttet dem over til skrivebordet mitt. Der ble de liggende i ytterligere noen uker inntil det vokste groer på dem. Da fikk seks av potetene plass i to glassbeholdere med jord og plassert på pauserommet, mens resten forsvant ut med søppelet.

Alt dagen etter var det store forandringer å se, og de to nye potteplantene ble et daglig tema i lunsjsamtalen. Hver dag ble røttene synlig lengre og flere, og snart var det sammenfiltrede nett av hvite røtter klemt inntil glassveggene på alle sider. Etter kort tid skjøt grønne stengler opp av jorda, og hver morgen sto stenglene skrått og strakk seg mot vinduet.

Plantene bar tydelig preg av at belysningen inne på pauserommet ikke var så god, for stenglene ble lange og bleke - men til gjengjeld strakk de seg også fortere oppover, med større forandringer fra dag til dag enn det sannsynligvis ellers ville blitt. Etter noen uker var plantene blitt over 30 cm høye, men da så de skjeve og puslete ut. De endte opp under et tre i skolegården før vi tok sommerferie.

Nå var det tre poteter igjen fra en Mat og helse-time, og de ligger i skuffa her for å utvikle groer. Så skal de plantes i en glassbeholder så elevene kan se hvor potetene deres kommer fra.

1 Det hvor en får en potet til å flyte mellom et lag saltvann og et lag ferskvann, fordi massetettheten til poteten er mindre enn tettheten til saltvann men større enn tettheten til ferskvann.

lørdag 19. mars 2011

Grunnstoffkort

Regelmessighetene i grunnstoffenes egenskaper ble oppdaget lenge før atomets struktur var forstått, og Tellus 9 inneholder en aktivitet der elevene får prøve seg på å gjenoppfinne den periodiske tabellen. På kopieringsoriginalen er det 20 kort, og på hvert kort står navn, atommasse og noen sentrale egenskaper til et av de 20 letteste grunnstoffene. Elevene klipper ut kortene og ordner grunnstoffene i rekkefølge etter atommasse, og prøver deretter å gruppere grunnstoffene etter egenskaper.

lørdag 26. februar 2011

Ikke-positive eksponenter

Det å venne seg til at 23 betyr 2 x 2 x 2 og ikke 2 x 3 tar mange repetisjoner over lengre tid for de fleste av elevene. Det at 20 skal være 1 og ikke 0 er enda flere hakk vanskeligere. Og negative eksponenter? Jeg vet ikke om noen elev som ikke gjentatte ganger har skrevet om en potens med negativ eksponent som et tall med negativt fortegn. Elevene føler seg ofte ganske umiddelbart sikre på svaret sitt - det er lite ved svaret som røper at det er noe merkelig her, eller som får dem til å stusse og skjønne at de ikke egentlig vet hva de skal gjøre.

Noen vei utenom å ta dette opp mange ganger over lengre tid ser jeg ikke, men jeg synes at forsøkene på å vise hvorfor de ikke-positive eksponentene fungerer som de gjør har fungert ganske bra. Vi jobber dels med å finne mønster i serier av potenser som 34, 33, 32, 31 ... og så diskutere hvordan fortsettelsen bør se ut. Dette er noe de fleste synes å skjønne.

Ellers er det moro å skrive samme regnestykke på potensform og på vanlig form rett under hverandre, og så se at reglene for potensregning gir nøyaktig samme svar som brøkstykkene de er mer vant med.


Oppgavearket vi har brukt ligger her.

søndag 20. februar 2011

Desimaltall - første runde

Åttendeklassingene mine hadde første runde av begrepstestene om desimaltall forrige uke. De skal testes om igjen to eller tre ganger til før resultatene deres teller på karakteren. Som vanlig var det mange veldig lave skårer på første testrunde, men i alle fall en del av elevene hadde skjønt systemet etter tilsvarende opplegg med brøk forrige semester. En ivrig og flittig elev som fikk igjen noen riktig lave skårer sa optimistisk at det skulle gå bedre neste gang, og en annen forklarte sidemannen at det var fordi dette var første testing at det gikk så dårlig. De fleste av elevene gjorde markert framgang fra gang til gang på brøktestene forrige semester, og jeg tror denne erfaringen gjorde det mulig for dem å ta tilbake disse relativt lave resultatene på desimaltalltestene uten sinne eller motløshet.

Jeg bruker en noe omarbeidet versjon av vurderingsopplegget som Dan Meyer skisserte her og som siden har blitt diskutert i det vide og det brede på verdensveven - det er bare å gjøre et nettsøk på "Standards Based Grading" for å finne samtaler om det. I stedet for at elevene får en stor kapittelprøve deles stoffet inn i et større antall sterkt avgrensede begreper som testes hver for seg, og som testes mange ganger. Elevene fyller ut et søylediagram over resultatene sine på hver ferdighet, slik at de kan se framgangen fra gang til gang. I stedet for bare å bli en test på hva elevene alt har lært idet de testes, så blir dette altså noe som driver læringen og som klargjør for elevene hva det er de skal kunne. Fordelene med dette skulle si seg sjøl.

lørdag 12. februar 2011

Kanskje vi skulle gjort noe utav Darwindagen

Det er visst Darwin Day i dag. Litt rart at ikke Google har tilpasset logoen sin for å gjenspeile det - eller kanskje det kommer om en halvtimes tid, når det blir 11. februar i California også.

Jeg underviste om evolusjonsteorien for første gang i mai/juni i fjor, og det gikk ikke så bra. Det skyldtes nok delvis at elevene var veldig lei og klar for ferie. Det skyldtes antakelig også at Tellus behandler evolusjonsteorien på 8. trinn, før elevene har lært om celler eller om genetikk, som først dekkes i Tellus 10. Henvisningene til encellede organismer med og uten cellekjerne, til klorofyll og fotosyntese i bakterier, og til arv generelt ble dermed hengende i løse lufta. Jeg tenker også at åttendeklassinger rett og slett er litt vel unge til å forholde seg til dette stoffet. Geologisk tid er tross alt vanskelig for voksne også. Men noen av vanskelighetene med stoffet skyldtes andre ting.

lørdag 5. februar 2011

Algebrafliser

Vi gjorde et forsøk på å bestille algebrafliser sist vi skulle kjøpe inn konkretiseringsmateriell, men forgjeves: ingen av de norske katalogene hadde algebrafliser med. Dermed fikk niendeklassingene mine klippe ut sine egne, ett sett av rød papp til positive størrelser, og ett sett av blå papp til negative størrelser.

Elevene reagerer ganske forskjellig på flisene. Noen synes de små bitene er irriterende distraksjoner fra regningen, mens andre trives med å modellere algebraoppgavene med fliser. Jeg synes flisene har vært nyttige både til å overbevise elever om at bare like ledd kan legges sammen (det er lett å vise at 3x + 2 ikke blir det samme som 5x!), og til å holde orden på fortegn og regnetegn. I det minste er de et middel til å variere undervisningen innenfor en økt på 90 minutter.

Jeg savner imidlertid ferdige oppgaver til algebraflisene. Læreboka jeg underviste fra i USA hadde egne sider med oppgaver for algebrafliser som en del av introduksjonen til hvert nye algebraemne. Det hadde vært stas med tilsvarende ferdige modelleringsoppgaver på norsk. Vet noen hvor en kan finne dette?

lørdag 29. januar 2011

På 99-årsdagen til Arne Næss

På torsdag var timeplanen blitt oppløst på grunn av noen klasseturer, og norsklærerkollega Ragnhild og jeg grep anledningen til å gjøre noe tverrfaglig med niendeklassen vi begge har i hver våre fag. Siden vi nettopp var i gang med generatorer og vannkraftverk i naturfagtimene, mens elevene hadde arbeidet med filosofer i norsktimene, og siden Arne Næss helt tilfeldigvis ville fylt 99 år på akkurat denne dagen, så var Altaaksjonen et naturlig tema å velge.1

Vi delte elevene inn i grupper som fikk sette seg inn i rollene til ingeniører, samer, politifolk, aktivister og politikere. En elev ble tildelt rollen som Arne Næss, og en annen skulle representere Gro Harlem Brundtland. Hver gruppe fikk ei liste over filmsnutter og noen spørsmål de skulle forsøke å svare på. Målet var at elevene skulle kunne spille et folkemøte om utbyggingskonflikten på slutten av dagen.